電子刊物
華夏教育創刊號_2022年12月
《華夏教育》第四十二期-2026年-5月
第42期5月號
本期重量級《與名人對話》專輯首次亮相，由曾鈺成會長與梁振英先生對談。「教育心法」涵蓋教材短片拍攝分享、數學史與數學建模教學結合、職業體驗融入課堂等。「專題」文章從學齡人口下降看見契機；「教育觀察」提供扎實宏觀分析；「交流協作」則有內師分享及港校回訪小記。內容精彩，敬請細讀。
「歡迎轉發，以廣交流」
{dearflip id=52}
《華夏教育》第四十一期-2026年-4月
第41期4月號
本期內容豐富多元：「特稿」從兩會看國家發展方向；「教育心法」涵蓋悼念陳耀南、華羅庚啟發、二十四節氣教學及催眠與禪修等主題。「專題」與「教育觀察」探討校園氛圍、自評文化及「十五五」規劃，「拒詐防騙」聚焦女性反詐處境。全書理論與實踐並重，為教育工作者提供深刻啟發。
「歡迎轉發，以廣交流」
{dearflip id=51}
《華夏教育》第四十期-2026年-3月
第40期3月號
本期內容豐富多元，特稿探討教育局「藝文共韻」教材拍攝計劃；「教育觀察」涵蓋宏觀的香港教育發展方向，亦具體審視教師專業操守現況，並附上班級管理個案分析；「環保專題」喜見綠色生活理念已在校園實踐；「防騙專題」則剖析熱門的「杜拜王子情感陷阱」，揭示騙徒如何一步步套取信任與金錢。
「歡迎轉發，以廣交流」
{dearflip id=50}
新聞資訊
第三屆華夏優秀學生獎勵計劃(2026)頒獎典禮
第三屆華夏優秀學生獎勵計劃（2026）頒獎禮於5月23日在創知中學隆重舉行。香港 教育局副秘書長陳碧華博士、中聯辦教科部二級調研員顏為之博士、香港華夏教育機構 會長曾鈺成大紫荊勳賢等應邀主禮。本屆頒獎禮共有近三百位家長和師生出席，共同見 證香港華夏教育機構聯校（包括中學、小學和幼稚園）99位優秀學生接受嘉許，卓越表 現涉及領袖才能、服務精神、才藝和創新等多元範疇，他們分別獲頒獎座、獎狀和獎金。
《與名人對話》專輯之一：梁振英先生
《與名人對話》專輯之一：梁振英先生 融入國家大局 不止港澳專章 —梁振英談「十五五」規劃香港機遇 前言：國家「十五五」規劃綱要剛出台不久，香港社會正積極探討如何更好融入與服務國家發展大局。香港華夏教育機構會長曾鈺成先生特邀中國人民政治協商會議全國委員會副主席梁振英先生進行深度對談，從規劃全文的宏觀視野，到省市層級的具體機遇，再到香港自身的五年規劃方向，展開一場內容豐富、視野開闊的對話。以下是訪談內容整理。 一、 不只港澳專章：從全文看香港機遇 曾：梁生，很高興有機會與您討論「十五五」規劃，最近也聽到您很多就十五五規劃的一些高見，我覺得我們很多問題還需要去探討。 首先您非常之強調，雖然十五五規劃好像之前幾個規劃一樣，都有一個港澳專章，但是您說我們不應該只看港澳那幾段，應全部看一遍，從頭看到尾。同時裡面有很多在香港那幾段之外的內容，我們都應該主動舉手請纓。可不可以舉些例子？例如裡面提到甚麼我們應該去舉手請纓呢？ 梁： 在港澳段落以外，有一大段，標題叫「加快建設金融強國」。很多人包括專家都覺得，因為我們國家的金融改革開放，在整個改革開放的事業當中出現得比較遲，因此我們的歷史比較短，底子比較薄，所以金融事業、金融產業在我們國內相對來說是一個短板。我們現在提出一個目標，這是五年內的目標——我們要加快建設金融強國，不只是大國。我們全國範圍內一個真正的國際金融中心在哪裡呢？就是香港。「十五五」規劃裡都有一句提到上海的，就是建設上海國際金融中心，但香港是鞏固提升國際金融中心地位。所以您說我們國家要加快建設金融強國，香港不主動起身舉手請纓，誰來呢？這個對我們來說既是對國家的責任，同時香港的金融業現在已經是最大產業，對香港GDP 的貢獻超過百分之二十，第二才是貿易，旅遊百分之五。所以香港是很適合做金融，而且是可以真的拉高香港人均GDP，而香港的青年人也都很嚮往，升學的時候在大學裡讀類似金融或者是一些類似的學科。這是一個例子，和經濟有關。 《與名人對話》專輯於前任行政長官辦公室錄製現場工作照 和經濟沒有直接關係的，又是在港澳的段落以外，有構建人類命運共同體。我們知道構建人類命運共同體，下面有構建人類衛生健康共同體。八年前我們在香港成立一個共享基金會，在國外做醫療衛生援助工作，也很適合香港做。八年下來確實也些貢獻，在人道主義方面或者民間外交方面都有貢獻。這個也不在港澳的段落裡，但是很適合實行一國兩制的香港做的。因為我們香港籌款，錢出去方便，我們拿著特區護照出行方便，而且我們有兩文三語的優勢等等。所以無論是經濟領域好，非經濟領域好，港澳段落當然要看，但是我們在港澳段落以外，香港有很多地方可以站起來舉手，向國家報名請纓，貢獻力量。 錄製現場工作照 二、 融入國家大局：先了解大局，再看省市規劃 曾： 我明白了。所以我們如果真的要更好地融入和服務國家發展大局，你首先要知道這個國家發展大局裡面有什麼，我們才可以真正融入和服務。 梁： 我提第二個觀點。除了你剛才說到我們不要只看港澳的段落，我們要看國家的整個「十五五」規劃；我第二個觀點是，除了看國家的「十五五」規劃的全文之外，我建議大家再看省市的「十五五」規劃。因為國家這麼大，你說融入和服務國家發展大局，你去哪裡才可以？你當然要有物理平臺去做到這件事。物理平臺在哪裡呢？其實是地理平臺。國家這麼大，你當然說東北、西北，或者是大灣區廣東城市，都要落在一個地方。和香港各個方面的關係是最密切的，當然是廣東。所以我們建議不是說上海不要看、北京不要看，我們建議大家看看廣東的「十五五」規劃，從而看看廣東，尤其是大灣區9加2，港澳以外有9個廣東城市。比如說看看廣州這省會城市，看看深圳這經濟特區，就在我們旁邊。深圳前海可以是粵港合作重大平臺等等。你看到深圳的時候就很具體了。比如說我去深圳，我既要融入和服務國家發展大局，我知道國家比如說加快建設金融強國要做什麼，在深圳有什麼具體的條件、目標等等。你看深圳的「十五五」規劃，就看出很多機遇。 三、 責任在肩：學習規劃、啟發青年 曾： 梁生，老實說，香港呢，我想沒多少人像您這樣有條件第一時間了解國家的最新發展、最現實的情況。您既熟悉內地，又有國際視野，更有資源魄力，去開展這麼多的工作，包括在海外，這沒多少人可以做到。譬如一般人，比如說一般的商界、一般的教育界，怎樣去理解我們去融入和服務國家發展大局呢？比如說我們對於深圳，甚至廣州，或者廣東省，他們的發展規劃，我們應該怎樣去了解呢？ 曾鈺成先生和梁振英先生於訪談現場合影 梁： 首先我們這些人是有責任的。政協委員不只是一個銜頭，我們有責任去學習，學習好，融會貫通之後，在社會上用不同的方式去講解。比如今天我們對談是一種方式，（曾：最近很多人大政協都有傳達「兩會精神」）。對，這個很好。我們融會貫通之後，向我們的青年人講解。 另外我又舉一個例子，跟我們年輕學生的生涯規劃有關。上個星期我們有些愛國愛港的組織，組織一個推介我們國家航天事業的活動，我也向在場的師生講了觀點。我說，你們覺得自己不是讀理工科，與國家航天事業有何關係？我們國家航天事業當中，有一個商業航天的部分。商業航天是什麼？我們看看美國Elon Musk（伊隆˙馬克斯）的Starlink（星鏈）做得非常成功。商業航天的東西，你需要做市場推廣，你需要融資，因為做衛星事業投資的本錢不少，你需要做生意，自己出一些、借一些回來，你需要融資。發射都需要成本，發射那一下都可以做融資。做這些東西是有一定的風險，船買保險、車買保險，射火箭都買保險。接著所有東西都要講法律，要簽法律文件。所有這些東西，不是理工科的同學做的，是我們讀文科的同學，讀金融、保險、法律，將來就是你的事業發展空間。所以大家應該關心，不要說看到「十五五」規劃裡面有講到航天航空，有講到商業航天，都與我無關，我又不是讀理工科——不能這樣的。所以總的來說我們要拉闊，拉闊整個視野去看「十五五」規劃，不要只看港澳的段落，不要只看國家，還要看地方。然後我們去想一想，即使是航天，都有不讀理工科的同學日後事業發展空間拉闊。而我們這些人有責任，向大家講解一下我們自己的體會。 四、 從結構到動詞：讀懂規劃的科學與邏輯 曾： 我們做教師的，都有這個責任，我們首先自己去學習好，然後讓我們的同學多些了解國家發展大局。講到與這個「十五五」規劃主動對接，我留意到規劃綱要開頭一部份，我自己認為它很重要。它分析了我們在十五五時期國家發展的環境，跟前幾年真的不同了，現在整個形勢很大變化，有些分析，然後提出了一些指導思想。好像這些內容，我們又應不應該去關注呢？ 梁： 我們國家做「十五五」規劃和其他類似的國家發展的大政方針的文件，確實是很科學的，結構性很強，邏輯性很強。先說大環境，然後說過去的十四五規劃我們做了些甚麼，我們面對甚麼困難，我們有甚麼成就；接下來的五年，國際國內的大環境是怎樣。在這裡我向大家老師和同學重複和經常在社會上推薦的這件事就是：我們看「十五五」規劃，我們除了學「十五五」規劃的內容，我們作為國民一份子，我們有甚麼責任；第二個就是看看在務實方面，對我們將來選科就業有甚麼啟發。除了這些之外，學文字技巧，學寫報告文學的技巧。例如我剛才舉的例子，「十五五」規劃裡面有一個標題叫「加快建設金融強國」，我們見到很多「十五五」規劃裡面的目標，很短十個八個字，這十個八個字就是我們未來五年舉國上下一個奮鬥的目標。這句說話往往是怎樣寫的呢？我要說它的結構性。你不要說整篇一百六十幾頁紙，前後呼應的結構性，一句說話十個八個字，它的結構性是甚麼呢？頭兩個字或四個字，動詞。「加快」是動詞，「建設」是動詞，然後主體是甚麼呢？「金融強國」。一句說話，舉國上下做了它。我經常跟社會上的朋友說，我自己也是這樣做的：你一邊看，找個星期六下午，倒杯茶坐定定，老師好、同學好，揭一下，你不需要每一句，前面一句號後面一句號，你停下來思考不用半個小時，你一邊揭、一邊看，眼落在文字上，然後你遇到我剛才說的動詞，你將它寫下來。慢慢你有個人的詞彙，你將來寫文很有幫助，這些動詞是很有幫助的。將來寫文章，譬如我們學校我們的發展目標，未來五年我們學校會做甚麼，這些動詞就是加快建設。所以我覺得我們看「十五五」規劃，其實在很多方面是有得著的。 五、 從「保持」到「促進」：動詞變化反映政策轉向，鞏固與提升：航運中心的傳統產業與新興服務 曾： 您說到這裡，我留意到規劃綱要剛剛發表的時候，我們當然首先看港澳的篇章，首先注意到除了「融入」之外，加多個「服務」。我自己也想了一段時間，加多個「服務」這兩個字，到底有甚麼特別的意義，甚麼新的意義呢？好像您這樣說，我注意到我們國家的文字很講究，不是隨便加進去的，這是第一個。第二個，您剛才說的動詞，真的用了很多動詞，您也提過「鞏固提升」，三個中心是鞏固提升，有些是「加強」。之前我們聽到政府有些人這樣說，以前「十四五」規劃的時候，說到港澳的時候，是說保持我們港澳的優勢，保持我們繁榮；現在是促進，動詞又不同了。我想我們的老師或同學，如果不是經常閱讀我們內地文章的話，其實很多時候是分不清楚的。 梁： 這是一個不斷學習，包括個人在內，是一個自我進步的過程。剛才你說到鞏固提升，確實是這樣的。譬如說你用「十五五」規劃裡面有的一些概念，我們有傳統產業這個概念，有新興產業的概念，有未來產業的概念。如果你用這個概念套入剛才你說的鞏固提升，譬如說香港的國際航運中心地位。鞏固是甚麼呢？我們傳統產業就是葵涌貨櫃碼頭，就是鞏固，傳統的東西你繼續做不要扔掉。在關於香港的段落裡面，有句話就是支持香港鞏固提升，同時就是支持——你香港做，國家支持——支持香港鞏固提升國際航運中心地位。鞏固就是貨櫃碼頭、傳統產業。新興產業是甚麼呢？我們在國家「十五五」規劃裡面其他的段落經常出現的，就是我們現代的航運服務業，就是倫敦做的那些。人家是沒有貨櫃碼頭的，一條小小的泰晤士河，人家坐在寫字樓裡面做，望著電腦，做船舶的買賣、租賃、融資、保險、註冊登記，還有法律服務。人家的人均產值就高於我們在碼頭工作的朋友的人均產值，這就是提升。所以就提升來說，我們要發展一些和航運相關的新興產業。我們鞏固傳統產業，我們發展新興的航運產業，這就是提升。有些與航運相關的服務業，到現在我們還未懂得做，而國家是很需要的。我們是航運大國，我們要成為海洋強國，香港這個地方，我們也應站起來舉手請纓報名——我們不做，誰來做呢？所以在這方面，一年多前我和香港航運界的朋友研究，經過兩三年的醞釀，我們終於成立了一個航商總會，就是做這些與航運有關的服務業。這個服務業也很適合香港人做，尤其是我們青年一代。將來各位同學，譬如對法律有興趣你可以想想，除了做我們現在傳統法律服務的律師之外，你可以考慮做航運法律的律師，就開始更加專業了。你對金融有興趣的，對保險有興趣的，保險不只是賣人壽保險的，船舶的保險如何？可以有很大的生意。最近因為中東霍爾木茲海峽問題，大家注意到英國有個機構叫Lloyd's（勞合社），它在全世界範圍內做這些海事保險，差不多是壟斷性的。為什麼我們國家有全世界最大的船隊，我們在香港不可以做類似的保險產業？所以大家多些研究、多些討論這些問題，然後我們可以找到香港新的發展方向，都是為將來我們的青年學生尋找更好的出路。 六、 金融中心不止股票：衍生產品與資產證券化的機遇 曾： 梁先生這番話對我們很有啟發性。除了航運之外，其實「鞏固提升」這四個字適用於剛才我們提過的金融中心、貿易中心，還有國際航空樞紐。在這些領域我們都應該循這個方向，想想我們如何提升。 由香港華夏教育機構會長曾鈺成先生訪問《與名人對話》專輯首位嘉賓梁振英先生 梁振英先生與招祥麒副會長於工作現場握手並進行交流 梁： 對。譬如說國際金融中心，香港現在在世界上排名非常靠前，也為特區政府帶來不少收入，就是我們的股票市場。但是做股票買賣，不是國際金融中心唯一的業務。回過頭來說，在港澳段落以外，國家「十五五」規劃裡面有的好幾個段落，就是加快建設金融合作，裡面有的就是提到衍生產品，提到資產證券化，這些也是香港優而為之的。做這些的規模可以是非常大的。你想想如果我們國家的衍生產品和資產證券化，以香港作為主要平台的話，我們現在就不只是說每天二千億股票成交的收入，我們可以有更大的收入。所以在金融這個問題上，我們要知道甚麼呢？國際金融中心不只是做股票，不只是做商業銀行。如果我們對比一下，倫敦現在在做甚麼，甚至我們不說倫敦，我們說日本東京在做甚麼，日本大阪在做甚麼，美國紐約、芝加哥在做甚麼，我們對比一下。別人在做的，往往服務的對象就是我們中國，為什麼我們香港不做呢？所以有些事情別人在做我們還沒做的，這個就是我剛才說的新興產業，或者是未來產業中金融的部分。 七、 國際高端人才高地：香港的獨特吸引力 曾： 剛才說支持香港鞏固提升競爭優勢方面，提到了十個中心，還有兩個樞紐，還有一個高端人才集聚高地。這個相對比較新，因為之前提到的三大中心，在您擔任行政長官時我們已經在做了。但是比較新的就是高端人才集聚高地。我們特區政府現在當然都下了很多功夫去吸引人才，包括內地的人才、來自海外的人才過來。我們其實應該怎樣才做到真正達到這個目的，就是國家對我們這個期望，成為一個高端人才的集聚高地？ 梁： 這個高端人才前面有兩個字的：國際。沒錯。它沒有用「境外」二字。「境外」包括外國、包括內地、臺灣，它也沒有就這樣說高端人才，它說的是國際。國際其實是甚麼呢？這個也是香港所長、國家所需。因為香港是一個高度國際化的城市，我們國家要吸引外國的高端人才，香港是全國範圍內（我是香港人，我可能有些主觀），最有吸引力的一個城市。英語在香港普遍使用，還有就是香港整個環境，你從飲食、生活方式，你去電影院看場電影，你用手機看社交媒體，你用手機看國際新聞等等，香港也是在全國範圍內最方便的地方，是非常適合吸引國際高端人才的地方。再加上有些我們不一定日常注意到的，就是我們香港那三十多萬菲律賓和印尼的工人姐姐，是一個很大的吸引力。因為你花幾千元可以請到一個人，你兩夫婦從外國搬來香港，家務有人幫你打點，這是一個很大的吸引力。我們沒有宣傳好，其實很多國際人才來香港之後，不太捨得離開香港，就是家裡的太太不太捨得離開香港，離開香港後沒有人幫忙煮飯洗衣服。所以這些都是香港可以發揮的地方。所以關鍵是，因為我們國家的「十五五」規劃，其實地方也是這樣，是高度濃縮、高度概括，字斟句酌，所以你看每一句話都會看到它的核心內容是甚麼。所以人才問題是國際人才，我們要做好這個。 八、 兩地融合：深圳前海與香港的互補共生 曾： 很有趣，聽到您說到這裡我就想起一個問題。我前陣子去深圳前海看過，那裡的發展很快，我就了解到一個情況：有些國際高端人才，他去前海工作，前海才有那些職位提供給他，香港根本沒有這樣的職位容納這些人才，但是他住在香港。就是您剛才說的，他覺得香港的生活他比較習慣、比較喜歡、比較舒適、比較方便。如果這樣說，我們這個所謂要聚集這些國際高端人才，是不是真的靠我們的生活方式，而不能通過我們譬如發展我們的高等教育、發展我們的創新科技，來吸引這些人才來香港工作呢？ 梁： 我們的吸引力是一個整體性的吸引力。剛才我提到我們那三十多萬菲律賓和印尼女傭是一個方面。另外也有很多外面的朋友，包括我們內地來香港的朋友，他們會說的，就是香港比內地優勝的一個方面是甚麼呢？我們的食品安全，我們整個社會的安全。我們可能只緣身在此山中，我們不是很突出地重視這些方面，但是他們注意到。當然香港也應該這樣說，你剛才提到的前海比香港也有他們優勝的地方，就是甚麼呢？他整個工作環境和居住環境成本比香港低，你可以用香港幾分之一的租金，可以在前海、南沙做到一個非常好的工作辦公室，或者是一個居住的單位。所以剛才你說的那種情況，其實兩邊都有的。有一些朋友他住在香港在前海工作，也有一些人就選擇在前海居住，過來香港工作。因此兩地的融合，我們說的融入國家發展大局，兩地的融合現在發展得越來越快，尤其是我們看到通關的軟硬建設都發展得不錯，坐高鐵、開車、坐船可以很快去到內地。而軟建設方面，現在我們說到非接觸式的通關，可以在短時間內很方便地走過去。所以兩地的融合發展，我覺得勢頭很好。我覺得如果我們這邊要有一些規劃性的做法，香港將來的發展方向如何，速度如何，重點在哪裏，我覺得都要做兩件事：第一我們真的要比較深入地了解內地我們各個合作的平臺；第二也要讓我們內地的夥伴知道香港的所能是甚麼。因為兩個社會，畢竟社會制度、經濟制度，尤其是文化，都有點不同。譬如我們剛才說的在社會上經常宣傳的提升國際航運中心地位，香港很多朋友不知道，內地也有很多朋友不知道。內地很多朋友說：南沙港處理貨櫃碼頭，處理貨櫃數量已經超過葵涌，你還說甚麼？我們都要在這方面做好有關的說明工作。 九、 香港自己的五年規劃：目標性文件與政策誘因 曾： 最後我們都要說說香港自己的五年規劃。因為這個很新，所以我跟朋友談到，很多人都不理解。首先您剛才特別向我們指出，譬如我們看好像這份「十五五」規劃綱要的文件，除了內容我們要去認真學習之外，文章的結構和邏輯及用字的精準我們都要把握。當我們編寫自己香港的五年規劃的時候，都應該首先把握這些基本的。譬如《中華人民共和國國家發展規劃法》，不是一條在香港實施的全國性法律。（梁：它有提到港澳的，但是它開宗明義就說明是堅持一國兩制。）沒錯。但對於全國甚至內地省市那些規劃，它列出了一些主要內容，以及對於怎樣編制、怎樣審查、怎樣通過，甚至怎樣監督實施，都有規定的。這些東西雖然在香港不實施，我們在編制我們的規劃時要不要參考呢？ 梁： 當然最後要特區政府決定。但是我覺得五年規劃是目標性的，所以它的性質與行文應該和我們每年的行政長官施政報告是不同的。行政長官施政報告相當長、很具體，但是國家和內地地方的五年規劃，它都是目標性的。我認為在準備的過程當中，就是在社會上特區政府拿出來的資訊，特區政府有了一個方向性的想法，聽了社會上的意見，然後看看甚麼可行、甚麼不可行，然後推行起來的時候要考慮甚麼，這些全部是準備功夫的一部分。而那個文本本身，我認為是類似內地的無論是省市還是國家的五年規劃一樣，它就是定一些我們接下來的五年大家共同努力的方向。 曾： 但是內地的發展規劃是有指標的，雖然大部分是預期性的指標，但也有約束性的指標。我們的規劃要不要有指標呢？ 梁： 香港和內地的政治制度、社會制度、經濟制度不同；最簡單的就是內地有大量的國企，無論是中央的央企還是地方的國企，都是國企，在一定程度上政府是可以，不要說是指揮，是可以影響到他的決策的，因為政府是大股東，或者甚至乎百分之一百的擁有權在政府手上，國企是公營的單位，是為公服務。但是在香港，我們沒有，就算我們不要比較內地，比較新加坡，我們沒有這方面的力量。所以我們是需要考慮到香港和內地不同的地方，我們才能夠有些譬如說在政策上的誘因、稅務方面的誘因等等，來促成我們目標的達成。但是就那個寫法來講，我覺得五年規劃是一個目標性的規劃文件。 曾： 我也覺得是這樣的。看我們「十五五」規劃的指標，我認為有一點我們應該是參考的。您看國家規劃那些指標，20個指標當中，第一民生福祉佔了很多，就是看到我們國家對這方面的重視。當然國家是社會主義，但是香港這方面，我想我們也要做多一點。第二很重視綠色低碳，那些都是約束性指標。綠色低碳，香港我想這邊也要做的。 梁： 其實綠色的問題，過去我們很重視的，你剛才提到我當行政長官那五年任期的工作，我們當時四大施政的重點其中一個就是環保，很高興找到黃錦星局長，還有陸恭蕙副局長，幫大家做了不少工作。現在基本上都沒有什麼新聞報導，就是以前經常報導的大家站在中環馬路邊掩著鼻子等過馬路那種情形。我們的目標，我覺得一樣可以好像我們國家那樣定出來：青山綠水，金山銀山。都是這些目標，但是促成的手段和內地是會不同的。 曾： 好，很多東西還想請教，希望還有機會，但因為時間問題，我們只能夠談到這裡。很多謝梁先生。 梁： 多謝。 香港華夏教育機構《與名人對話》專輯工作團隊與梁振英先生合影 （文稿整理：招祥麒、蕭婷）
從數學史找題材運用到數學建模課堂上
周令軒福建中學（小西灣）數學科科主任 數學建模（Mathematical Modelling） 是將現實問題轉化為數學形式，透過簡化、求解與驗證，來分析現象或做出決策。近年教育局透過校本課程、專題研習或是鼓勵學生參與數學建模比賽的形式，大力推動中小學進行數學建模教育。面對這項新的課程，有些前線教師會感到茫無頭緒，不知從何入手。筆者喜歡多讀中外數學史，環觀古代數學，中國人講求實際，古代中國數學發展有許多地方都是由實際處境出發，再運用數學原理解決，其實跟現代數學建模的理念吻合（當然，古文不曾出現「數學建模」這近代詞彙！但概念卻有接近之處）。本文嘗試從《孫子算經》中雞兔同籠一題為例子，說明如何古為今用，透過改造古題，讓初小學生體會數學建模，同時學習欣賞古人的智慧。 古代中國的數學建模 古代中國數學的題材能用作現代的數學教育嗎？能應用在建模學習上嗎？作者的答案是肯定的。唐代數學家李淳風，把先秦、兩漢、魏晉至隋唐期間的數學書整理，稱為《算經十書》。《算經十書》的內容以應用數學為主，通常都是給予一個處境，之後給予答案，並且附上題解，有時候還會有後世數學家加上注釋（例如劉徽的《九章算術注》）。例子如《九章算術》中第二章〈粟米〉，運用數學中的比率解決糧食交易問題。第九章〈勾股〉則運用畢氏定理、相似三角形等數學工具，解決一些距離問題等。可見其根本觀念，和現代數學建模類近。 唐宋時代，在官方考試也略有數學建模的雛形。唐代設立明算科，作為數學科的科舉制度，為國家選拔數學人才，以擔任朝廷欽天監（古代天文台）和土木工程工作。而《算經十書》的編寫，是當時明算科的 Syllabus 和 Textbook。蕭文強教授分析明算科考試當中，學生較大機會不是要死記硬背《十書》的公式和結果，反而他們需要懂得運用《十書》的技巧和方法，解決考題當中的實際問題，做出計算和結論。蕭教授曾經模擬明算科的考題，從中知道考生需要運用數學知識（例如《九章算術》中計算平截頭體的方法），計算墓穴入口的體積。1 在另一個場合，唐代官員楊損在一次選拔官員的過程中，曾當眾出一道數學題，誰先計算出答案誰便被提拔。題目如下： 「有一個人聽到有幾個盜賊商議，如何分配他們偷來的布匹。一個盜賊說，如果每人分六匹，則餘下五匹；如果每人分七匹，則少八匹。問有幾多個盜賊，布匹總數多少？」2 這題其實是由《孫子算經》中一道題改造而成。這些例子說明，在唐代已經有一些簡單的數學應用，雖然對比今時今日的數學建模還有距離，但最起碼看到，古人對待古典數學並非講求死記硬背，反而他們期望學習者能融會貫通，並且在實際場合應用。這一點啟發我古為今用；既然唐代可以古為今用，古題改造，今日我們是否也能仿效？把古代中國的數學題目做一些修潤改良，作為當代學生學習數學建模的材料。這樣做，讓學生體會數學建模之同時，也能欣賞古人的智慧，增加國民身份認同感，一舉兩得！ 此圖為《孫子算經》的清代刻本書影，書中收錄了經典數學問題與度量衡規範。「雞兔同籠」問題最早便見於此書。 古題改造並且實踐數學建模在小學課堂上 帶着這份理念，筆者於兩年前跟一所小學同工分享想法，大家都抱着「邊做邊學」的心態，一同設計和推行數學建模學習。我們以一級小二的學生為對象，設計課堂內容並且在課堂實踐建模教學。 第一步：訂立清晰的教學目標 我們歸納了三個學習目標。第一，讓學生透過解決不常見的題目，學習把複雜的問題簡化。第二，學習透過列表法（窮舉法 Method of exhaustion）解決問題。第三，欣賞古人解決問題的方法。由於對象是初小學生，我們的目標只是讓學生淺嘗和體驗數學建模的循環，每一個目標不會、也不必太難，淺嘗即可。 我們最終選取《孫子算經》中雞兔同籠這條問題，原因是題目的解難技巧雖然對小二學生來講並不常見，但只要把題目設計稍作調整，學生有能力理解內容，也可以按老師指引一步一步完成體驗簡單建模過程。 第二步：根據教學目標設計教學流程和工作紙，並且在課堂上實踐 同工們先分析雞兔同籠題目，之後重新建構，由淺入深，並且加入合適的現代處境。再配以精美插圖，提升學生興趣。 原問題記錄在《孫子算經》下卷第 31 題，原文如下： 「今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？」 題目重構：對初小學生而言，處理 35 個頭和 94 隻腳，數量過大，要考慮的情況過多。考慮到他們的數學工具有限，我們需要把頭和腳的數量減少。同時，同工們因應現實處境，把題目改造一下，務求讓處境盡量貼近實際需要，讓學生感知為甚麼我們只能知道頭和腳的數量，而無法得知動物的數量。所以在設計題目時候，同工們花了一些心思設計，不然學生覺得直接數雞和兔子的數量即可，何必無中生有，多此一舉！ 同工們把處境設計如下：「農場有一個籠子 A，內有一些兔子和雞，由於兔子和雞走來走去，跑得快，很難直接一隻隻數出他們各自的數量，於是農場主人在籠子的頂部和底部放有測量儀器，頂部測量儀能測量籠子內有多少個頭，但不能分辨是兔子頭還是雞頭，底部測量儀能快速測量籠子動物有多少隻腳。現在測量得籠子 A 共有 14 個頭，牠們共有 40 隻腳，請問籠子中分別有兔子和雞多少隻？」 課堂上，老師先把這個題目給學生想想。學生於開始時會感到無從入手，有些同學則嘗試亂撞答案。這時，老師便可透過工作紙引導學生思考解題方法。 把「雞兔同籠」問題具象化，讓小二學生能透過生動的場景，將抽象的數學問題轉化為可視畫面，幫助學生建立問題模型，理解題意。 第三步：簡化和考慮極端情況 老師說：「既然同學未能想到解決辦法，不如先行把問題簡化，我們何不先考慮動物數量較少的處境？」 於是，老師引入一個簡化版的處境：「農場有一個籠子 B，內有 5 隻動物（5 個頭），牠們共有 12 隻腳，請問籠子中分別有兔子和雞多少隻？」 老師繼續透過提問，引導學生思考： 「同學們，籠子中可以全部動物都是兔子嗎？可以全部動物都是雞嗎？」 通過考慮以上兩個極端情況，同學皆迅速發現，因為雞有兩隻腳，如果籠子內全部都是雞，腳的總數將會是 5x2=10，腳的數量比題目的條件少。相反，因為兔子有四隻腳，如果籠子內全部都是兔子，腳的總數將會是 5x4=20，腳的數量比題目的條件多。 「啊！」老師繼續提出引導性問題，「這樣，籠子中，不能全部是雞，也不能全部是兔子，雞和兔子的數量一定分別在 0 和 5 之間，我們能否把全部情況列出呢？」 第四步：列表法（窮舉法） 於是，在老師的帶領下，學生嘗試把雞和兔子不同數量的情況，透過圖表有系統地列出來。以下（表格 1）是一位學生計算所得的結果。 表格1 從觀察以上列表，學生很快就能找出答案：籠子 B中，有一隻兔子，四隻雞。 看到學生已經能運用列表法找出答案，老師進一步鼓勵學生運用這個方法處理原本的題目（籠子 A）。 「Good ！我們把原本的問題簡化，發現列表法可以幫助我們解決問題，我們能否依樣畫葫蘆，使用列表法在籠子 A 中找出分別有兔子和雞多少隻嗎？」 學生很聰明，在老師的引導下，很快就能依樣畫葫蘆，透過畫表，列舉出籠子 A 動物數量的所有可能性。以下（表格 2）是另一位學生計算所得的結果。 表格2 從上表反映，學生很快找出答案：籠子 A 中，有 6隻兔子，8 隻雞。 第五步：分組討論，理解方法背後的數學規律 在此，問題看似已經圓滿解決，但在數學建模的學習上，同工們覺得應該多走一步，讓學生多思考方法背後的數學原理，並且觀察數學的規律。 老師透過一系列的問題追問學生：「從表中你能觀察到甚麼規律？為甚麼會出現這些規律呢？有沒有更快捷的途徑計算呢？」 在課堂上，我們把不同能力的學生以四個為一組，給他們 15 分鐘時間分組討論，老師則到不同的組別指導。最後，老師安排時間，讓各組匯報他們的討論成果。學生都展現不錯的觀察力。以下略舉數例： 「表格 2 中，當兔子數量增加，雞的數量減少，腳的總數遞升，每次增加兩隻腳。」 「兔子腳的數量比雞腳的數量多出兩隻，所以當每次雞減少一隻，而兔子增加一隻的時候，腳的總數都會增加兩隻。」 「其實我們不用寫個表這麼麻煩，只需要在開始的時候，假設有 14 隻雞，沒有兔子，腳的總數則有 28 隻。這個數量跟題目要求的總數 40 隻腳相差 12 隻腳。由於上一組同學找到的規律，所以最終雞的數量答案減少 12/2 隻，即最終應該有雞 8 隻，兔子 6 隻。」 這些討論、思考和回饋的過程很重要，它讓學生發現數學的規律、思考更快捷或合理的方法和應用數學結果來解釋自然現象，從而作出合邏輯的結論。當然，這個過程並不是線性的，學生並非直接就得出以上簡潔的回答，同工們容許學生犯錯，並且經常不斷提問，適當地引導學生思考，讓學生判斷自己的思考過程是否合理，最後引導學生得出恰當的結論。 第六步：從研究和理解古人的解題方法，吸取當中的智慧。 《孫子算經》為雞兔同籠問題提供一個解法：「術曰：上置頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。」 如何讓小學生理解這個道理呢？同工們思考良久，決定添加創意創作，有以下情節： 「農場主人學會了跟動物溝通的方法，他命令雞：『單腳企立』；又命令兔子『用後腳站起來』，動物們都聽他的號令。」 討論問題： 腳的總數量有多少？答： 共有 40/2=20 隻腳 腳的數量減去頭的數量等於多少？有甚麼意義呢？答： 20–14=6。因為現在，雞頭跟雞腳的數量一樣，多 出的腳一定是兔子的腳，所以兔子的數量為 6 隻！ 如何計算兔子和雞的總數呢？ 答： 兔子 6 隻，雞 8 隻。 接着，老師跟同學探討這個方法的優點，同學們都覺得這個方法很容易明白，並且不用列表，較為方便。 第七步：延伸思考，自創題目 最後，同工們在課堂最後一節，給予學生空間自創問題：如果可以加入一種新動物進入籠子中，同學們會加入甚麼動物呢？能否使用列表法找出各動物的數量呢？出乎老師的意料，有個學生提議加入若干條蛇放進籠子中，即時有同學反駁，並指出蛇不能放在雞和兔子的籠子中，因為蛇會吃掉雞和兔子。老師的應變能力很高，告訴學生假設這些蛇是「乖」的蛇，已經改邪歸正， 此題由學生提議：在籠中加入若干條「乖」蛇，作為「雞兔同籠」的延伸討論。由於蛇是有頭無腳的，所以學生運用列表法找出多於一個答案。 跟雞和兔子做朋友，不會吃掉它們，可以考慮在這個背景下，分析有多少條蛇？多少隻雞和多少隻兔子嗎？ 學生於是使用列表法，發現由於蛇沒有腳，只有頭，最後的答案可能多過一個可能性，引發學生思考一道題可以多於一個答案（多個解）。老師最後引導學生，如果是這類情況，則需要更多資料才可以得出各種動物確實的數量。小二程度的學生能探究到這個程度，實屬意外收穫！（學生的列表分析詳細可見表格 3） 表格3 第八步：反思檢討 最後，老師為課堂作總結，老師請同學說說學到甚麼，並且寫下簡單反思心得。大部份同學都可以整理出這次所學的重點，例如簡化難題、考慮極端情況、列表法等。最後老師引導同學，每個數學建模都有一些假設，例如這個模型，它的假設就是沒有蹩腳兔子和蹩腳雞！如果有的話，這個模型就不能準確計算動物的數量了。 反思這部份是很重要的，讓學生整理自己的學習心得，鞏固知識。同時，讓學生了解數學建模的限制，每個模型都有一些假設，所以在應用模型和它的結果時，必須先檢查假設是否成立。 總結 在同工的檢討會議上，同工都覺得這是一次難得的經驗！學生投入參與，同工也能透過簡單的課堂設計，向初小學生引入數學建模教學。同工們（包括筆者）透過這次經歷，也打破了數學建模好像高深莫測的錯誤迷思，原來同工只需多花心思，多觀察，按學生程度把問題簡化、優化、趣味化、現實化，在古典中也可以找到好例子，建立學生數學建模的概念。 另外，有同工也提出雞兔同籠這道題，放在高小、初中甚至高中也合適。配合學生的程度和當時學習的數學工具，則可以變為合適的建模題，如果放在高中 M2，甚至可以引入矩陣和高斯消元法，探討雞、兔、蛇問題的一般解，非常有趣。 筆者期望透過這篇文章，分享自身一些數學建模的經驗，希望達到拋磚引玉的效果，讓廣大同工能從數學史的寶庫中，發掘「寶藏」！ 參考資料：1. 蕭文強（2004），中國古代官學數學課程：考生是怎樣學習和準備考試的？2. 劉季學（2002），楊損考吏與盈虧問題；《小學時代》2002年Z1期
機構屬校
機構屬校
香島中學
