周令軒福建中學（小西灣）數學科科主任
數學建模（Mathematical Modelling） 是將現實問題轉化為數學形式，透過簡化、求解與驗證，來分析現象或做出決策。近年教育局透過校本課程、專題研習或是鼓勵學生參與數學建模比賽的形式，大力推動中小學進行數學建模教育。面對這項新的課程，有些前線教師會感到茫無頭緒，不知從何入手。筆者喜歡多讀中外數學史，環觀古代數學，中國人講求實際，古代中國數學發展有許多地方都是由實際處境出發，再運用數學原理解決，其實跟現代數學建模的理念吻合（當然，古文不曾出現「數學建模」這近代詞彙！但概念卻有接近之處）。本文嘗試從《孫子算經》中雞兔同籠一題為例子，說明如何古為今用，透過改造古題，讓初小學生體會數學建模，同時學習欣賞古人的智慧。
古代中國的數學建模
古代中國數學的題材能用作現代的數學教育嗎？能應用在建模學習上嗎？作者的答案是肯定的。唐代數學家李淳風，把先秦、兩漢、魏晉至隋唐期間的數學書整理，稱為《算經十書》。《算經十書》的內容以應用數學為主，通常都是給予一個處境，之後給予答案，並且附上題解，有時候還會有後世數學家加上注釋（例如劉徽的《九章算術注》）。例子如《九章算術》中第二章〈粟米〉，運用數學中的比率解決糧食交易問題。第九章〈勾股〉則運用畢氏定理、相似三角形等數學工具，解決一些距離問題等。可見其根本觀念，和現代數學建模類近。
唐宋時代，在官方考試也略有數學建模的雛形。唐代設立明算科，作為數學科的科舉制度，為國家選拔數學人才，以擔任朝廷欽天監（古代天文台）和土木工程工作。而《算經十書》的編寫，是當時明算科的 Syllabus 和 Textbook。蕭文強教授分析明算科考試當中，學生較大機會不是要死記硬背《十書》的公式和結果，反而他們需要懂得運用《十書》的技巧和方法，解決考題當中的實際問題，做出計算和結論。蕭教授曾經模擬明算科的考題，從中知道考生需要運用數學知識（例如《九章算術》中計算平截頭體的方法），計算墓穴入口的體積。1 在另一個場合，唐代官員楊損在一次選拔官員的過程中，曾當眾出一道數學題，誰先計算出答案誰便被提拔。題目如下：
「有一個人聽到有幾個盜賊商議，如何分配他們偷來的布匹。一個盜賊說，如果每人分六匹，則餘下五匹；如果每人分七匹，則少八匹。問有幾多個盜賊，布匹總數多少？」2
這題其實是由《孫子算經》中一道題改造而成。這些例子說明，在唐代已經有一些簡單的數學應用，雖然對比今時今日的數學建模還有距離，但最起碼看到，古人對待古典數學並非講求死記硬背，反而他們期望學習者能融會貫通，並且在實際場合應用。這一點啟發我古為今用；既然唐代可以古為今用，古題改造，今日我們是否也能仿效？把古代中國的數學題目做一些修潤改良，作為當代學生學習數學建模的材料。這樣做，讓學生體會數學建模之同時，也能欣賞古人的智慧，增加國民身份認同感，一舉兩得！
此圖為《孫子算經》的清代刻本書影，書中收錄了經典數學問題與度量衡規範。「雞兔同籠」問題最早便見於此書。
古題改造並且實踐數學建模在小學課堂上
帶着這份理念，筆者於兩年前跟一所小學同工分享想法，大家都抱着「邊做邊學」的心態，一同設計和推行數學建模學習。我們以一級小二的學生為對象，設計課堂內容並且在課堂實踐建模教學。
第一步：訂立清晰的教學目標
我們歸納了三個學習目標。第一，讓學生透過解決不常見的題目，學習把複雜的問題簡化。第二，學習透過列表法（窮舉法 Method of exhaustion）解決問題。第三，欣賞古人解決問題的方法。由於對象是初小學生，我們的目標只是讓學生淺嘗和體驗數學建模的循環，每一個目標不會、也不必太難，淺嘗即可。
我們最終選取《孫子算經》中雞兔同籠這條問題，原因是題目的解難技巧雖然對小二學生來講並不常見，但只要把題目設計稍作調整，學生有能力理解內容，也可以按老師指引一步一步完成體驗簡單建模過程。
第二步：根據教學目標設計教學流程和工作紙，並且在課堂上實踐
同工們先分析雞兔同籠題目，之後重新建構，由淺入深，並且加入合適的現代處境。再配以精美插圖，提升學生興趣。
原問題記錄在《孫子算經》下卷第 31 題，原文如下：
「今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？」
題目重構：對初小學生而言，處理 35 個頭和 94 隻腳，數量過大，要考慮的情況過多。考慮到他們的數學工具有限，我們需要把頭和腳的數量減少。同時，同工們因應現實處境，把題目改造一下，務求讓處境盡量貼近實際需要，讓學生感知為甚麼我們只能知道頭和腳的數量，而無法得知動物的數量。所以在設計題目時候，同工們花了一些心思設計，不然學生覺得直接數雞和兔子的數量即可，何必無中生有，多此一舉！
同工們把處境設計如下：「農場有一個籠子 A，內有一些兔子和雞，由於兔子和雞走來走去，跑得快，很難直接一隻隻數出他們各自的數量，於是農場主人在籠子的頂部和底部放有測量儀器，頂部測量儀能測量籠子內有多少個頭，但不能分辨是兔子頭還是雞頭，底部測量儀能快速測量籠子動物有多少隻腳。現在測量得籠子 A 共有 14 個頭，牠們共有 40 隻腳，請問籠子中分別有兔子和雞多少隻？」
課堂上，老師先把這個題目給學生想想。學生於開始時會感到無從入手，有些同學則嘗試亂撞答案。這時，老師便可透過工作紙引導學生思考解題方法。
把「雞兔同籠」問題具象化，讓小二學生能透過生動的場景，將抽象的數學問題轉化為可視畫面，幫助學生建立問題模型，理解題意。
第三步：簡化和考慮極端情況
老師說：「既然同學未能想到解決辦法，不如先行把問題簡化，我們何不先考慮動物數量較少的處境？」
於是，老師引入一個簡化版的處境：「農場有一個籠子 B，內有 5 隻動物（5 個頭），牠們共有 12 隻腳，請問籠子中分別有兔子和雞多少隻？」
老師繼續透過提問，引導學生思考：
「同學們，籠子中可以全部動物都是兔子嗎？可以全部動物都是雞嗎？」
通過考慮以上兩個極端情況，同學皆迅速發現，因為雞有兩隻腳，如果籠子內全部都是雞，腳的總數將會是 5x2=10，腳的數量比題目的條件少。相反，因為兔子有四隻腳，如果籠子內全部都是兔子，腳的總數將會是 5x4=20，腳的數量比題目的條件多。
「啊！」老師繼續提出引導性問題，「這樣，籠子中，不能全部是雞，也不能全部是兔子，雞和兔子的數量一定分別在 0 和 5 之間，我們能否把全部情況列出呢？」
第四步：列表法（窮舉法）
於是，在老師的帶領下，學生嘗試把雞和兔子不同數量的情況，透過圖表有系統地列出來。以下（表格 1）是一位學生計算所得的結果。
表格1
從觀察以上列表，學生很快就能找出答案：籠子 B中，有一隻兔子，四隻雞。
看到學生已經能運用列表法找出答案，老師進一步鼓勵學生運用這個方法處理原本的題目（籠子 A）。
「Good ！我們把原本的問題簡化，發現列表法可以幫助我們解決問題，我們能否依樣畫葫蘆，使用列表法在籠子 A 中找出分別有兔子和雞多少隻嗎？」
學生很聰明，在老師的引導下，很快就能依樣畫葫蘆，透過畫表，列舉出籠子 A 動物數量的所有可能性。以下（表格 2）是另一位學生計算所得的結果。
表格2
從上表反映，學生很快找出答案：籠子 A 中，有 6隻兔子，8 隻雞。
第五步：分組討論，理解方法背後的數學規律
在此，問題看似已經圓滿解決，但在數學建模的學習上，同工們覺得應該多走一步，讓學生多思考方法背後的數學原理，並且觀察數學的規律。
老師透過一系列的問題追問學生：「從表中你能觀察到甚麼規律？為甚麼會出現這些規律呢？有沒有更快捷的途徑計算呢？」
在課堂上，我們把不同能力的學生以四個為一組，給他們 15 分鐘時間分組討論，老師則到不同的組別指導。最後，老師安排時間，讓各組匯報他們的討論成果。學生都展現不錯的觀察力。以下略舉數例：
「表格 2 中，當兔子數量增加，雞的數量減少，腳的總數遞升，每次增加兩隻腳。」
「兔子腳的數量比雞腳的數量多出兩隻，所以當每次雞減少一隻，而兔子增加一隻的時候，腳的總數都會增加兩隻。」
「其實我們不用寫個表這麼麻煩，只需要在開始的時候，假設有 14 隻雞，沒有兔子，腳的總數則有 28 隻。這個數量跟題目要求的總數 40 隻腳相差 12 隻腳。由於上一組同學找到的規律，所以最終雞的數量答案減少 12/2 隻，即最終應該有雞 8 隻，兔子 6 隻。」
這些討論、思考和回饋的過程很重要，它讓學生發現數學的規律、思考更快捷或合理的方法和應用數學結果來解釋自然現象，從而作出合邏輯的結論。當然，這個過程並不是線性的，學生並非直接就得出以上簡潔的回答，同工們容許學生犯錯，並且經常不斷提問，適當地引導學生思考，讓學生判斷自己的思考過程是否合理，最後引導學生得出恰當的結論。
第六步：從研究和理解古人的解題方法，吸取當中的智慧。
《孫子算經》為雞兔同籠問題提供一個解法：「術曰：上置頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。」
如何讓小學生理解這個道理呢？同工們思考良久，決定添加創意創作，有以下情節：
「農場主人學會了跟動物溝通的方法，他命令雞：『單腳企立』；又命令兔子『用後腳站起來』，動物們都聽他的號令。」
討論問題：
- 腳的總數量有多少？答： 共有 40/2=20 隻腳
- 腳的數量減去頭的數量等於多少？有甚麼意義呢？答： 20–14=6。因為現在，雞頭跟雞腳的數量一樣，多
出的腳一定是兔子的腳，所以兔子的數量為 6 隻！
- 如何計算兔子和雞的總數呢？
答： 兔子 6 隻，雞 8 隻。
接着，老師跟同學探討這個方法的優點，同學們都覺得這個方法很容易明白，並且不用列表，較為方便。
第七步：延伸思考，自創題目
最後，同工們在課堂最後一節，給予學生空間自創問題：如果可以加入一種新動物進入籠子中，同學們會加入甚麼動物呢？能否使用列表法找出各動物的數量呢？出乎老師的意料，有個學生提議加入若干條蛇放進籠子中，即時有同學反駁，並指出蛇不能放在雞和兔子的籠子中，因為蛇會吃掉雞和兔子。老師的應變能力很高，告訴學生假設這些蛇是「乖」的蛇，已經改邪歸正，
此題由學生提議：在籠中加入若干條「乖」蛇，作為「雞兔同籠」的延伸討論。由於蛇是有頭無腳的，所以學生運用列表法找出多於一個答案。
跟雞和兔子做朋友，不會吃掉它們，可以考慮在這個背景下，分析有多少條蛇？多少隻雞和多少隻兔子嗎？
學生於是使用列表法，發現由於蛇沒有腳，只有頭，最後的答案可能多過一個可能性，引發學生思考一道題可以多於一個答案（多個解）。老師最後引導學生，如果是這類情況，則需要更多資料才可以得出各種動物確實的數量。小二程度的學生能探究到這個程度，實屬意外收穫！（學生的列表分析詳細可見表格 3）
表格3
第八步：反思檢討
最後，老師為課堂作總結，老師請同學說說學到甚麼，並且寫下簡單反思心得。大部份同學都可以整理出這次所學的重點，例如簡化難題、考慮極端情況、列表法等。最後老師引導同學，每個數學建模都有一些假設，例如這個模型，它的假設就是沒有蹩腳兔子和蹩腳雞！如果有的話，這個模型就不能準確計算動物的數量了。
反思這部份是很重要的，讓學生整理自己的學習心得，鞏固知識。同時，讓學生了解數學建模的限制，每個模型都有一些假設，所以在應用模型和它的結果時，必須先檢查假設是否成立。
總結
在同工的檢討會議上，同工都覺得這是一次難得的經驗！學生投入參與，同工也能透過簡單的課堂設計，向初小學生引入數學建模教學。同工們（包括筆者）透過這次經歷，也打破了數學建模好像高深莫測的錯誤迷思，原來同工只需多花心思，多觀察，按學生程度把問題簡化、優化、趣味化、現實化，在古典中也可以找到好例子，建立學生數學建模的概念。
另外，有同工也提出雞兔同籠這道題，放在高小、初中甚至高中也合適。配合學生的程度和當時學習的數學工具，則可以變為合適的建模題，如果放在高中 M2，甚至可以引入矩陣和高斯消元法，探討雞、兔、蛇問題的一般解，非常有趣。
筆者期望透過這篇文章，分享自身一些數學建模的經驗，希望達到拋磚引玉的效果，讓廣大同工能從數學史的寶庫中，發掘「寶藏」！
參考資料：
1. 蕭文強（2004），中國古代官學數學課程：考生是怎樣學習和準備考試的？
2. 劉季學（2002），楊損考吏與盈虧問題；《小學時代》2002年Z1期
